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已知向量 =(1,2),=(cosα,sinα),设=+t(t为实数). (1)...

已知向量 manfen5.com 满分网=(1,2),manfen5.com 满分网=(cosα,sinα),设manfen5.com 满分网=manfen5.com 满分网+tmanfen5.com 满分网(t为实数).
(1)若α=manfen5.com 满分网,求当|manfen5.com 满分网|取最小值时实数t的值;
(2)若manfen5.com 满分网manfen5.com 满分网,问:是否存在实数t,使得向量manfen5.com 满分网-manfen5.com 满分网和向量manfen5.com 满分网的夹角为manfen5.com 满分网,若存在,请求出t的值;若不存在,请说明理由.
(3)若manfen5.com 满分网manfen5.com 满分网,求实数t的取值范围A,并判断当t∈A时函数f(t)=(t,-3)•(t2,t)的单调性.
(1)先把a=代入求出向量 的坐标,再把 转化为 =,把所求结论以及已知条件代入得到关于实数t的二次函数,利用配方法求出 的最小值以及实数t的值; (2)先利用向量垂直求出 以及 和( )( ),代入cos45°=,可得关于实数t的方程,解方程即可求出实数t. (3)利用向量垂直的条件得到t的范围,再利用导数判断函数的单调性. 【解析】 (1)因为a=,所以 =( ),, 则 ==== 所以当 时,取到最小值,最小值为 . (2)由条件得cos45°=, 又因为 ==,==, ( )( )=5-t,则有 =,且t<5, 整理得t2+5t-5=0,所以存在t=满足条件. (3)由题意可得:=(1+tcosα,2+tsinα), 因为⊥, 所以5+t(cosα+2sinα)=0,即5+tsin(α+φ)=0 ∵|sin(α+φ)|≤1 ∴, ∴, 又f(t)=(t,-3)•(t2,t), ∴f(t)=t3-3t 所以f′(t)=3t2-3, 因为, 所以f′(t)=3t2-3>0, 所以函数f(t)在,上是增函数.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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