设函数y=f（x）的定义域为全体R，当x＜0时，f（x）＞1，且对任意的实数x，...

（1）令x=-1，y=0，代入题设等式中求得f（0）=1，进而求得a1，先当x＞0时根据f（0）=f（-x）•f（x）推断出0＜f（x）＜1，设x1，x2∈R且x1＜x2，进而可知0＜f（x2-x1）＜1，利用f（x+y）=f（x）f（y）求得f（x2）-f（x1）＜0，根据函数单调性的定义推断出函数为减函数． （2）根据由和f（x+y）=f（x）f（y）整理求得an+1-an=2，进而可判断出{an}是以1为首项，2为公差的等差数列．进而根据等差数列通项公式求得an． （3）把题设中的不等式整理成，设出，进而表示出F（n+1），进而求得进而推断出F（n）为关于n的单调增函数，进而根据求得k的最大值． 【解析】 （1）令x=-1，y=0，得f（-1）=f（-1）•f（0）， 由题意知f（-1）≠0，所以f（0）=1，故a1=f（0）=1． 当x＞0时，-x＜0，f（0）=f（-x）•f（x）=1，进而得0＜f（x）＜1． 设x1，x2∈R且x1＜x2，则x2-x1＞0，0＜f（x2-x1）＜1，f（x2）-f（x1）=f（x1+（x2-x1））-f（x1）=f（x1）[f（x2-x1）-1]＜0． 即f（x2）＜f（x1），所以y=f（x）是R上的减函数． （2）由得f（an+1）f（-2-an）=1， 所以f（an+1-an-2）=f（0）． 因为y=f（x）是R上的减函数，所以an+1-an-2=0， 即an+1-an=2， 所以{an}是以1为首项，2为公差的等差数列． 所以an=1+（n-1）×2=2n-1． （3）由对一切n∈N*均成立． 知对一切n∈N*均成立． 设， 知F（n）＞0且， 又． 故F（n）为关于n的单调增函数，． 所以，k的最大值为