已知函数 （Ⅰ）求f（x）在[-1，e]（e为自然对数的底数）上的最大值； （Ⅱ...

（I）由 知，当-1≤x＜1时，，令f'（x）=0得 ，当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况列表知f（x）在[-1，1）上的最大值为2．当1≤x≤2时，f（x）=alnx．当a≤0时，f（x）≤0，f（x）最大值为0；当a＞0时，f（x）在[1，e]上单调递增．当a≤2时，f（x）在区间[-1，e]上的最大值为2；当a＞2时，f（x）在区间[-1，e]上的最大值为a． （II）假设曲线y=f（x）上存在两点P、Q满足题设要求，则点P、Q只能在y轴两侧．设P（t，f（t））（t＞0），则Q（-t，t3+t2），显然t≠1．由此入手能得到对任意给定的正实数a，曲线y=f（x）上存在两点P、Q，使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上． 【解析】 （Ⅰ）因为f（x）= 1当-1≤x＜1时，f′（x）=-x（3x-2）， 解f′（x）＞0得0＜x＜：解f′（x）＜0得-1＜x＜0或＜x＜1 ∴f（x）在（-1，0）和（，1）上单减，在（0，）上单增， 从而f（x）在x=处取得极大值f）= 又∵f（-1）=2，f（1）=0， ∴f（x）在[-1，1）上的最大值为2． 当1≤x≤e时，f（x）=alnx， 当a≤0时，f（x）≤0； 当a＞0时，f（x）在[1，e]单调递增； ∴f（x）在[1，e]上的最大值为a． ∴当a≥2时，f（x）在[-1，e]上的最大值为a； 当a＜2时，f（x）在[-1，e]上的最大值为2． （Ⅱ）假设曲线y=f（x）上存在两点P，Q满足题意，则P，Q只能在y轴两侧，不妨设P（t，f（t））（t＞0），则Q（-t，t3+t2），且t≠1 ∵△POQ是以O为直角顶点的直角三角形 ∴=0，即-t2+f（t）（t3+t2）=0（*） 是否存在P，Q等价于方程（*）是否有解． ①若0＜t＜1，则f（x）=-t3+t2，代入方程（*）得：-t2+（-t3+t2）（t3+t2）=0， 即：t4-t2+1=0，而此方程无实数解， ②当t＞1时， ∴f（t）=alnt，代入方程（*）得：-t2+alnt•（t3+t2）=0， 即： 设h（x）=（x+1）lnx（x≥1），则h′（x）=lnx++1＞0在[1，+∞）恒成立． ∴h（x）在[1，+∞）上单调递增，从而h（x）≥h（1）=0，则h（x）的值域为[0，+∞）． ∴当a＞0时，方=（t+1）lnt有解，即方程（*）有解． ∴对任意给定的正实数a，曲线y=f（x）上总存在两点P，Q，使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上．