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某市旅游部门开发一种旅游纪念品,每件产品的成本是15元,销售价是20元,月平均销...

某市旅游部门开发一种旅游纪念品,每件产品的成本是15元,销售价是20元,月平均销售a件,通过改进工艺,产品的成本不变,质量和技术含金量提高,市场分析的结果表明,如果产品的销售价提高的百分率为x(0<x<1),那么月平均销售量减少的百分率为x2.记改进工艺后,旅游部门销售该纪念品的月平均利润是y(元).
(Ⅰ)写出y与x的函数关系式;
(Ⅱ)改进工艺后,确定该纪念品的售价,使旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大.
(I)由题易知每件产品的销售价为20(1+x),则月平均销售量为a(1-x2)件,利润则是二者的积去掉成本即可. (II)由(1)可知,利润函数是一元三次函数关系,可以对其求导解出其最值. 【解析】 (I)改进工艺后,每件产品的销售价为20(1+x),月平均销售量为a(1-x2)件, 则月平均利润y=a(1-x2)•[20(1+x)-15], ∴y与x的函数关系式为y=5a(1+4x-x2-4x3). 故函数关系式为:y=5a(1+4x-x2-4x3)(0<x<1) (II)由y'=5a(4-2x-12x2)=0得或(舍) 当时 y'>0;时 y'<0, ∴函数y=5a(1+4x-x2-4x3)(0<x<1)在取得最大值 故改进工艺后,产品的销售价为=30元时,旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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