已知函数f（x）=lnx，g（x）=2x-2． （1）试判断函数F（x）=（x2...

（1）由函数f（x）=lnx，g（x）=2x-2，我们易得到函数F（x）=（x2+1） f （x）-g（x）的解析式，利用导数法易判断出函数在区间[1，+∞）上导函数的值，进而判断出其单调性． （2）若要证明函数f （x）定义在区间[a，b]上的值域的长度大于，即证lnb-lna＞，构造函数，结合函数的单调性易得结论． （3）由f（x）=⇔xlnx=，我们可以构造函数h（x）=xlnx（x＞0）．利用导数法判断h（x）的单调性，求出其最值后，即可得到结论． 解（1）∵F（x）=（x2+1）lnx-2x+2． ∴F′（x）=2xlnx+． ∴当x≥1时，F′（x）≥0且仅当x=1时F′（x）=0 ∴F（x）在（1，+∞）上单调递增（4分） （2）∵0＜a＜b，f（x）在[a，b]上的值域为[lna，lnb] ∴要证值域的长度大于， 即证lnb-lna＞ 只要证ln ∵0＜a＜b， ∴，令 则只要证lnx＞（x＞1） 即证（x2+1）lnx-（2x-2）＞0（※） 由（1）可知F（x）在（1，+∞）上单调递增∴F（x）＞F（1）=0 所以（※）式成立． ∴f（x）在[a，b]上的值域的长度大于．（9分） （3）∵f（x）=⇔xlnx= 令h（x）=xlnx（x＞0）．则h′（x）=lnx+1 当x∈（0，）时h′（x）＜0，h（x）单调递减； 当x∈（）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增．所以h（x）min=h（）=-． 令空集（x）=，则， 当x∈（0，1），空集'（x）＞0，空集（x）单调递增； 当x∈（1，+∞）时，空集'（x）＜0，空集（x）单调递减． ∴C（x）max= 所以方程f（x）=没有实根（13分）