已知椭圆的离心率为，其左、右焦点分别为F1，F2，点P（x，y）是坐标平面内一点...

（1）设出P的坐标，利用|OP|的值求得x和y的关系式，同时利用求得x和y的另一关系式，进而求得c，通过椭圆的离心率求得a，最后利用a，b和c的关系求得b，则椭圆的方程可得． （2）设出直线l的方程，与椭圆方程联立消去y，设A（x1，y1），B（x2，y2），则可利用韦达定理表示出x1+x2和x1x2，假设在y轴上存在定点M（0，m），满足题设，则可表示出，利用=0求得m的值． 【解析】 （1）设P（x，y），F1（-c，0），F2（c，0）， 则由； 由得， 即． 所以c=1 又因为． 因此所求椭圆的方程为：． （2）动直线l的方程为：， 由得． 设A（x1，y1），B（x2，y2）． 则． 假设在y轴上存在定点M（0，m），满足题设，则． = = = = 由假设得对于任意的恒成立， 即解得m=1． 因此，在y轴上存在定点M，使得以AB为直径的圆恒过这个点， 点M的坐标为（0，1）