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已知点F(0,1),直线l:y=-2. (1)若动点M到点F的距离比它到直线l的...

已知点F(0,1),直线l:y=-2.
(1)若动点M到点F的距离比它到直线l的距离小1,求动点M的轨迹E的方程;
(2)过轨迹E上一点P作圆C:x2+(y-3)2=1的切线,切点分别为A、B,求四边形PACB的面积S的最小值和此时P的坐标.
(1)直接代入距离公式来求动点M轨迹E的方程即可(注意讨论). (2)先利用图象和已知条件把S转化为求|AP|问题,然后在△PAC中借助于点P在E上求出|AP|的最小值即可. 【解析】 (1):设动点M(x,y). 由题设条件可知 ,即 ①当y+2≥0时,即y≥-2时,有 两端平方并整理得 ②当y+2<0即y<-2时有 两端平方并整理得 ∵x2>0∴>-1 这与y<-2矛盾. 综合①②知轨迹E的方程为 (2)连PC,不难发现S=S△PAC+S△PBC=2S△PAC ∵CA⊥PA且|AC|=1∴ 即S=|AP|| 设P(x,y)于是,|AP|2+|AC|2=|PC|2=x2+(y-3)2 即 ∴ 当且仅当y=1时“=”成立,此时x=±2 所以四边形PACB存在最小值,最小值是 ,此时P点坐标是(±2,1)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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