已知函数f（x）=x3+ax2+bx（a，b∈R）．若函数f（x）在x=1处有极...

已知函数f（x）=x³+ax²+bx（a，b∈R）．若函数f（x）在x=1处有极值-4．
（1）求f（x）的单调递减区间；
（2）求函数f（x）在[-1，2]上的最大值和最小值．

（1）首先求出函数的导数，然后令f′（x）=0，解出函数的极值点，最后根据导数判断函数的单调性，从而求解．（2）由（1）求出函数的单调区间，可以运用导数判断函数的单调性，从而求出函数f（x）在[-1，2]上的最大值和最小值．（1）f′（x）=3x2+2ax+b，依题意有f′（1）=0，f（1）=-4，即得．（4分）所以f′（x）=3x2+4x-7=（3x+7）（x-1），由f′（x）＜0，得-＜x＜1，所以函数f（x）的单调递减区间（-，1）．（7分）（2）由（1）知f（x）=x3+2x2-7x，f′（x）=3x2+4x+7=（3x+7）（x-1），令f′（x）=0，解得x1=-，x2=1． f′（x），f（x）随x的变化情况如下表：由上表知，函数f（x）在（-1，1）上单调递减，在（1，2）上单调递增．故可得f（x）min=f（1）=-4，f（x）max=f（-1）=8．（13分）

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考点分析：

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试题属性

题型：解答题
难度：中等