如图，三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为2的正三角形且侧棱垂直于底面，侧棱...

（1）由题意及题中P为AB1中点和D为AC中点，中点这样信息，得到线线PD∥B1C平行，在利用PD∥平面A1BD线面平行，利用线面平行的判定定理得到线面B1C∥平面A1BD平行； （2）有正三棱柱及二面角平面角的定义，找到二面角的平面角，然后再三角形中解出二面角的大小； （3）利用条件及上两问的证题过成找到∠APM就是直线A1B与平面A1BD所成的线面角，然后再三角形中解出即可． 【解析】 （1）设AB1与A1B相交于点P，连接PD，则P为AB1中点， ∵D为AC中点，∴PD∥B1C． 又∵PD∥平面A1BD， ∴B1C∥平面A1BD． （2）∵正三棱住ABC-A1B1C1， ∴AA1⊥底面ABC． 又∵BD⊥AC ∴A1D⊥BD ∴∠A1DA就是二面角A1-BD-A的平面角． ∵AA1=，AD=AC=1 ∴tan∠A1DA= ∴∠A1DA=，即二面角A1-BD-A的大小是． （3）由（2）作AM⊥A1D，M为垂足． ∵BD⊥AC，平面A1ACC1⊥平面ABC，平面A1ACC1∩平面ABC=AC ∴BD⊥平面A1ACC1， ∵AM⊂平面A1ACC1， ∴BD⊥AM ∵A1D∩BD=D ∴AM⊥平面A1DB，连接MP，则∠APM就是直线A1B与平面A1BD所成的角． ∵AA1=，AD=1，∴在Rt△AA1D中，∠A1DA=， ∴AM=1×sin60°=，AP=AB1=． ∴sin∠APM= ∴直线AB1与平面A1BD所成的角的正弦值为．