本题是关于不等式的恒成立问题，可转化为函数的最值问题来求解，先对x分类讨论：x=0与x≠0，当x≠0即x∈（0，1]时，得到：，构造函数，只需需a≥[g（x）]max，于是可以利用导数来求解函数g（x）的最值．
【解析】
∵x∈[0，1]总有f（x）≥-1成立，
即ax3-3x+1≥0，x∈[0，1]恒成立
当x=0时，要使不等式恒成立则有a∈（0，+∞）
当x∈（0，1]时，ax3-3x+1≥0恒成立，
即有：在x∈（0，1]上恒成立，令，必须且只需a≥[g（x）]max
由＞0得，
所以函数g（x）在（0，]上是增函数，在[，1]上是减函数，所以=4，即a≥4
综合以上可得：a≥4．
答案为：[4，+∞）．
的单调增区间为 ．
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