已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，O1是上底面对角线A1C1、B1D1的交...

已知长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，O₁是上底面对角线A₁C₁、B₁D₁的交点，体对角线A₁C交截面AB₁D₁于点P，求证：O₁、P、A三点在同一条直线上．

根据公理2，进行判断O1、P、A三点共线；根据公理1可知M，O1、P、A∈平面AB1D1，因此得到答案．证明：如图所示， ∵A1C1∩B1D1=O1，∴O1∈A1C1，O1∈B1D1．又∵A1C1⊂平面A1C，B1D1⊂平面AB1D1，∴O1∈平面A1C，O1∈平面AB1D1．又∵A1C∩平面AB1D1=P，∴P∈A1C，P∈平面AB1D1．∴P∈平面A1C．又∵A∈平面A1C，A∈平面AB1D1， ∴O1、P、A三点都是平面AB1D1与平面A1C的公共点， ∴O1、P、A三点在同一条直线上．

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考点分析：

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（1）求证：C₁ M⊥平面ABB₁ A₁
（2）求异面直线A₁B与B₁ C所成角的余弦值．

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试题属性

题型：解答题
难度：中等