一个正三棱柱有一个内切球（球与三棱柱的两个底面和三个侧面都相切）和一个外接球（球...

设正三棱柱底面正三角形的边长为a，当球外切于正三棱柱时，球的半径R1等于正三棱柱的底面正三角形的边心距，求出正三棱柱的高为，当球外接正三棱柱时，球的球心是正三棱柱中心高线的中点，且球的球心与正三棱柱两个底面正三角形构成两个正三棱锥，求出外接球的半径，即可求出内切球、外接球与正三棱柱三个几何体的表面积之比． 【解析】 设正三棱柱底面正三角形的边长为a，其内切球的半径为R 当球外切于正三棱柱时，球的半径R等于正三棱柱的底面正三角形的重心到对边的距离即R=，到相对棱的距离是 又正三棱柱的高是其内切球半径的2倍，故正三棱柱的高为 ，  球外接正三棱柱时，球的球心是正三棱柱高的中点，且球的球心与正三棱柱两个底面正三角形构成两个正三棱锥，顶点在底面上的投影恰好是底面三角形的重心到顶点的距离 ，棱锥的高为 故正三棱锥外接球的半径满足 =， 三棱柱的表面积为：= ∴内切球、外接球与正三棱柱三个几何体的表面积之比4（π）：（4π）：=R2：R22=1：5：． 故答案为：5；．