已知a，b，c∈R，函数f（x）=ax2+bx+c，g（x）=ax+b，当-1≤...

①中因为C为函数解析式的常数项，则C=f（0），由些证明C的范围可转化为f（0）的范围 ②中由于a值不确定，因此要对a进行分类讨论，分类标准为a与0的关系；在每种情况中结合g（x）的单调性与①中结论不难给出结论． 注意：分类讨论后一定要有总结的过程，此步骤虽无实际作用，但不可缺少． 证明：①∵当-1≤x≤1时，|f（x）|≤1， 令x=0得|c|=|f（0）|≤1，即|c|≤1．②当a＞0时，g（x）=ax+b在[-1，1]上是增函数， ∴g（-1）≤g（x）≤g（1）， 又∵|f（x）|≤1（-1≤x≤1），|c|≤1， ∴g（1）=a+b=f（1）-c≤|f（1）|+|c|≤2， g（-1）=-a+b=-f（-1）+c≥-（|f（-1）|+|c|）≥-2， 由此得|g（x）|≤2； 同理 当a＜0时，g（x）=ax+b在[-1，1]上是减函数， ∴g（-1）≥g（x）≥g（1）， 又∵|f（x）|≤1（-1≤x≤1），|c|≤1， ∴g（-1）=-a+b=-f（-1）+c≤|f（-1）|+|c|≤2， g（1）=a+b=f（1）-c≥-（|f（1）|+|c|）≥-2， 由此得|g（x）|≤2； 当a=0时，g（x）=b，f（x）=bx+c． ∵-1≤x≤1， ∴|g（x）|=|f（1）-c|≤|f（1）|+|c|≤2． 综上得|g（x）|≤2．