已知函数f（x）=-x3+ax2+b（a、b∈R）．（1）若a＞0，求函数f（...

已知函数f（x）=-x³+ax²+b（a、b∈R）．
（1）若a＞0，求函数f（x）的单调区间；
（2）若a=1，函数f（x）的图象能否总在直线y=b的下方？说明理由；
（3）若函数f（x）在[0，2]上是增函数，x=2是方程f（x）=0的一个根，求证：f（1）≤-2．

（1）三次多项式函数的单调性问题，先求导，令f′（x）≥0和f′（x）≤0，解不等式即可．（2）结合（1）问中函数的性质求解．（3）由f（x）在[0，2]上是增函数可求出a的范围，x=2是方程f（x）=0的一个根，找出a和b的关系，可证．【解析】 ∵f（x）=-x3+ax2+b（a、b∈R） ∴f'（x）=-3x2+2ax=-x（3x-2a）．（1）若a＞0，令f'（x）=0得x1=0，x2=，则 ∴f（x）的单调增区间为：（0，），单调递减区间为：（-∞，0），（，+∞）（2）若a=1，由（1）可得f（x）在上单调递增，则时，f（x）＞f（0）=b ∴f（x）的图象不可能总在直线y=b的下方．（3）若函数f（x）在[0，2]上是增函数，则x∈[0，2]时f'（x）=-3x2+2ax≥0恒成立．即对x∈[0，2]恒成立， ∴a≥3．又f（2）=0， ∴-8+4a=b+0得b=8-4a， ∴f（1）=-1+a+b=7-3a≤-2．

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考点分析：

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已知函数f（x）=|x-a|，g（x）=ax，（a∈R）．
（1）判断函数f（x）的对称性和奇偶性；
（2）当a=2时，求使g²（x）f（x）=4x成立的x的集合；
（3）若a＞0，记F（x）=g（x）-f（x），试问F（x）在（0，∞）是否存在最大值，若存在，求a的取值范围，若不存在，说明理由．

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