已知函数，．（e=2.718…) （I）求函数的极大值；（II ）求证：； ...

已知函数，．（e=2.718…)

（I）求函数的极大值；

（II ）求证：；

（Ⅲ）对于函数与定义域上的任意实数，若存在常数，使得和都成立，则称直线为函数与的“分界线”．设函数，试探究函数与是否存在“分界线”？若存在，请加以证明，并求出的值；若不存在，请说明理由．

本题主要考查指、对函数及其性质、导数的基本知识及用导数处理函数性质，及不等式等的综合问题，同时考查考生分类讨论思想方法及化归和探索论证的能力．满分14分【解析】（Ⅰ）∵，∴．……1分令，解得：，令，解得：，…………………2分 ∴函数在上递增，上递减，∴．……4分（Ⅱ）证明：由（1）知是函数极大值点,也是最大值点， ∴，即，（当且仅当时等号成立）…………5分令得：，取，则，………………………………………………7分 ∴，迭加得…………8分（Ⅲ）设，则． ∴当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增． ∴是函数的极小值点，也是最小值点，∴ ∴函数与的图象在处有公共点．………………9分设与存在 “分界线”且方程为：．令函数， ⅰ）由在恒成立，即在上恒成立， ∴成立， ∴，故．……………………………………11分 ⅱ）下面再证明：恒成立．设，则． ∴当时，，函数单调递增；当时，．函数单调递减． ∴时取得最大值0，则成立．…………13分综上ⅰ）和ⅱ）知：且，故函数与存在分界线为，此时．…………14分另【解析】令则，探究得两函数图象的交点为，设存在“分界线”且为：，令函数，再证：恒成立；恒成立。。。。。证法同上ⅰ）和ⅱ）．

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考点分析：

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