问题背景：某课外学习小组在一次学习研讨中，得到了如下两个命题： ①如图1，在正三...

（1）正三角形ABC中，可通过全等三角形来证明BM=CN，由于∠BON=∠MBC+∠BCO=60°，而∠ACB=∠ACN+∠OCB=60°，因此∠ACN=∠MBC，又知道∠A=∠BCM=60°，AC=BC，因此△ACN≌△CBM，可得出BM=CN；正方形和正五边形的证明过程与正三角形的一样，都是通过全等三角形来得出线段的相等，证三角形的过程中都是根据∠BON和多边形的内角相等得出一组两三角形中的一组对应角相等，然后根据正多边形的内角和边相等，得出BCM和CND全等，进而得出BM=CN；（2）①由（1）的证明过程可知道∠MON的度数应该是正多边形的内角的度数，当∠BON=时，结论BM=CN成立， ②可参照（1）先得出三角形BCD和CDE全等，然后通过证三角形CEN和BDM全等来得出结论，在证三角形CEN和BDM全等的过程中也是通过∠BON与正五边形的内角相等得出一组对应角相等，然后根据正五边形的内角减去第一对全等三角形中得出的相等角来得出另一组对应角相等，可通过△BCD≌△CDE得出CE=BD，那么可得出三角形CEN和BDM全等，由此可得证． 【解析】 （1）选命题① 在图1中，∵△ABC是正三角形， ∴BC=CA，∠BCM=∠CAN=60°． ∵∠BON=60°， ∴∠CBM+∠BCN=60°． ∵∠BCN+∠ACN=60°， ∴∠CBM=∠ACN． ∴△BCM≌△CAN（ASA）． ∴BM=CN． 选命题② 在图2中∵四边形ABCD是正方形， ∴BC=CD，∠BCM=∠CDN=90°． ∵∠BON=90°， ∴∠CBM+∠BCN=90°． ∵∠BCN+∠DCN=90°， ∴∠CBM=∠DCN． ∴△BCM≌△CDN（ASA）． ∴BM=CN． 选命题③ 在图3中，∵五边形ABCDE是正五边形， ∴BC=CD，∠BCM=∠CDN=108°． ∵∠BON=108°， ∴∠CBM+∠BCN=108°． ∵∠BCN+∠DCN=108°， ∴∠CBM=∠DCN． ∴△BCM≌△CDN（ASA）． ∴BM=CN． （2）①当∠BON=时，结论BM=CN成立． ②BM=CN成立． 在图5中，连接BD、CE， ∵五边形ABCDE是正五边形， ∴BC=CD，∠BCD=∠CDE=108°，CD=DE，∠CDE=∠DEA=108°． ∴∠BCD=∠DEA， ∴△BCD≌△CDE（SAS）． ∴BD=CE，∠BDC=∠CED，∠DBC=∠ECD． ∵∠BON=108°， ∴∠OBC+∠OCB=108°． ∵∠OCB+∠OCD=108°， ∴∠OBC=∠OCD（即∠MBC=∠NCD）． ∴∠MBC-∠DBC=∠NCD-∠ECD，即∠DBM=∠ECN． ∴∠CDE-∠BDC=∠DEA-∠CED，即∠BDM=∠CEN． ∴△BDM≌△CEN（ASA）． ∴BM=CN．