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如图,△ABC中,点D在AC上,CD=2AD,∠BAC=45°,∠BDC=60°...

如图,△ABC中,点D在AC上,CD=2AD,∠BAC=45°,∠BDC=60°,CE⊥BD于E,连接AE.已给的图形中存在哪几对相似三角形?请选择一对进行证明.

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图中有两对相似三角形:(1)△ADE∽△AEC或(2)△BCD∽△ACB; (1)首先由∠BDC=60°、CE⊥DE证得CD=2DE,由此可得出AD=DE,即∠DAE=∠DEA=30°,即可证得∠DEA=∠ECA=30°,加上公共角∠EAC,即可判定两个三角形相似; (2)同(1)可证得∠EAC=∠ECA=30°,进一步可证得∠EBA=∠EAB=15°;由此可得出AE=BE=CE,即△CEB是等腰Rt△;则∠CBE=45°=∠BAC,再加上公共角∠BCD,即可判定两个三角形相似. 【解析】 图中相似三角形有△ADE∽△AEC或△BCD∽△ACB两对.(2分) 证明(1)△ADE∽△AEC. ∵CE⊥BD于E, ∴∠CED=90°. ∵∠BDC=60°, ∴∠ECD=30°. ∴CD=2ED.(3分) ∵CD=2AD, ∴AD=ED.(4分) ∴∠DEA=∠DAE. ∵∠BDC=60°, ∴∠DEA=∠DAE=30°, ∴∠DEA=∠ECD=30°.(5分) ∵∠DAE=∠EAC, ∴△ADE∽△AEC.(6分) 证明(2)△BCD∽△ACB 提示:在证明△BCD∽△ACB时 证出①AE=CE,(给1分) ②AE=BE,(给到2分) ③∠CBD=45°,(给到3分) ④△BCD∽△ACB.(给到4分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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