如图，已知：如图①，直线y=-x+与x轴、y轴分别交于A、B两点，两动点D、E分...

（1）首先求出一次函数y=-x+与坐标轴交点A、B的坐标，然后解直角三角形求出BF、EF、AF的长； （2）由EF∥AD，且EF=AD=t，则四边形ADEF为平行四边形，若▱ADEF是菱形，则DE=AD=t．由DE=2OE，列方程求出t的值； 如答图1所示，推出∠BAG=∠GAF，∠ABG=∠AGF=30°，证明△AFG与△AGB相似． （3）当△ADF是直角三角形时，有两种情形，需要分类讨论： ①若∠ADF=90°，如答图2所示．首先求出此时t的值；其次求出点G的坐标，利用待定系数法求出直线BG的解析式，得到点M的坐标；最后利用顶点式和待定系数法求出抛物线的解析式； ②若∠AFD=90°，如答图3所示．解题思路与①相同． 【解析】 （1）在直线解析式y=-x+中，令x=0，得y=；令y=0，得x=1． ∴A（1，0），B（0，），OA=1，OB=． ∴tan∠OAB=，∴∠OAB=60°， ∴AB=2OA=2． ∵EG∥OA，∴∠EFB=∠OAB=60°． ∴EF===t，BF=2EF=2t， ∴AF=AB-BF=2-2t． （2）①∵EF∥AD，且EF=AD=t，∴四边形ADEF为平行四边形． 若▱ADEF是菱形，则DE=AD=t． 由DE=2OD，即：t=2（1-t），解得t=． ∴t=时，四边形ADEF是菱形． ②此时△AFG与△AGB相似．理由如下： 如答图1所示，连接AE， ∵四边形ADEF是菱形， ∴∠DEF=∠DAF=60°， ∴∠AEF=30°． 由抛物线的对称性可知，AG=AE， ∴∠AGF=∠AEF=30°． 在Rt△BEG中，BE=，EG=2， ∴tan∠EBG==， ∴∠EBG=60°， ∴∠ABG=∠EBG-∠EBF=30°． 在△AFG与△AGB中，∵∠BAG=∠GAF，∠ABG=∠AGF=30°， ∴△AFG∽△AGB． （3）当△ADF是直角三角形时， ①若∠ADF=90°，如答图2所示： 此时AF=2DA，即2-2t=2t，解得t=． ∴BE=t=，OE=OB-BE=， ∴E（0，），G（2，）． 设直线BG的解析式为y=kx+b，将B（0，），G（2，）代入得： ，解得k=，b=， ∴y=x+． 令x=1，得y=， ∴M（1，）． 设抛物线解析式为y=a（x-1）2+，点E（0，）在抛物线上， ∴=a+，解得a=． ∴y=（x-1）2+=x2+x+． ②若∠AFD=90°，如答图3所示： 此时AD=2AF，即：t=2（2-2t），解得：t=． ∴BE=t=，OE=OB-BE=， ∴E（0，），G（2，）． 设直线BG的解析式为y=kx+b，将B（0，），G（2，）代入得： ，解得k=，b=， ∴y=x+． 令x=1，得y=，∴M（1，）． 设抛物线解析式为y=a（x-1）2+，点E（0，）在抛物线上， ∴=a+，解得a=． ∴y=（x-1）2+=x2+x+． 综上所述，符合条件的抛物线的解析式为：y=x2+x+或y=x2+x+．