已知∠AOB=90°，OM是∠AOB的平分线，将一个直角RPS的直角顶点P在射线...

（1）PC与PD的数量关系是相等．如图过点P作PH⊥OA，PN⊥OB，垂足分别为点H、N，根据OM是∠AOB的平分线可以得到PH=PN，又∠AOB=90°，易得∠HPN=90°，由此得到∠1+∠CPN=90°，最后得到∠1=∠2，现在可以证明△PCH≌△PDN，然后根据全等三角形的性质就可以证明PC=PD； （2）根据（1）可以得到∠3=45°，而∠POD=45°，所以△POD∽△PDG，然后根据相似三角形的性质和已知条件就可以求出GD：OD的值； （3）有两种情况． ①如图1所示，若PR与射线OA相交，根据以P、D、E为顶点的三角形与△OCD相似可以得到∠CEO=∠CDO，从而CE=CD，而OC⊥DE，所以OE=OD，而∠EPD=90°，则OP=1； ②如图2所示，若PR与直线OA的交点C与点A在点O的两侧，过P作PH⊥OA，PN⊥OB，垂足分别为H，N，∵∠PDE＞∠EDC，可以证明△PDE∽△ODC，由此得到∠PDE=∠ODC． ∵∠OEC＞∠PED，∴∠PDE=∠HCP；而PH=PN， ∴Rt△PHC≌Rt△PND， ∴HC=ND，PC=PD，∴∠PDC=∠PCD=45°， ∴∠PDO=22.5°， 根据外角的性质可得：∠PED=∠PDO+∠PCD=67.5°，即∠POE+∠OPE=67.5°， 又∠POE=45°，∴∠QPE=22.5°， ∴∠PDO=∠OPE， ∵以P、D、E为顶点的三角形与△OCD相似， ∴∠PDO=∠OCE， ∴∠OPE=∠OCE， ∴OP=OC． 设OP=x，则OH=ON=x，HC=DN=OD-ON=1-x； 而HC=HO+OC=x+x，即1-x=x+x， 从而可得OP=-1． 【解析】 （1）PC与PD的数量关系是相等． 证明：过点P作PH⊥OA，PN⊥OB，垂足分别为点H、N． ∵∠AOB=90°，易得∠HPN=90度． ∴∠1+∠CPN=90°， 而∠2+∠CPN=90°， ∴∠1=∠2． ∵OM是∠AOB的平分线， ∴PH=PN， 又∵∠PHC=∠PND=90°， ∴△PCH≌△PDN； ∴PC=PD． （2）∵PC=PD，∠CPD=90°， ∴∠3=45°， ∵∠POD=45°， ∴∠3=∠POD． 又∵∠GPD=∠DPO，∴△POD∽△PDG． ∴． ∵， ∴． （3）如图1所示，若PR与射线OA相交，则OP=1； 如图2所示，若PR与直线OA的交点C与点A在点O的两侧，则OP=-1．