如图，已知直线y=x与二次函数y=x2+bx+c的图象交于点A、O，（O是坐标原...

（1）由点A在直线y=x上，可知A的横纵坐标相等，又因为OA=3，所以可以求出A的坐标，再把O和A的坐标代入y=x2+bx+c，求出b和c的值即可求出函数的解析式； （2）用配方法求出顶点P的坐标，再利用勾股定理求出OP的长和AP的长，利用勾股定理的逆定理即可判定三角形AOP的形状，进而求出OB的长； （3）若△AOQ与△AOP相似，则①△AOP∽△OQA或②△AOP∽△OAQ，根据相似三角形的性质得到比例式，求出满足题意的OQ值即可． 【解析】 （1）∵点A在直线y=x上，且OA=3， ∴A点的坐标是（3，3，） ∵点O（0，0），A（3，3）在函数y=x2+bx+c的图象上， ∴， 解得：， 故二次函数的解析式是y=x2-2x； （2）∵y=x2-2x=（x-1）2-1， ∴顶点P的坐标为（1，-1） ∴PO==，AP=2， ∴AO2+PO2=AP2， ∴∠AOP=90°， ∴△AOP是直角三角形， ∵B为AP的中点， ∴OB=； （3）∵∠AOP=90°，B为AP的中点， ∴OB=AB， ∴∠AOB=∠OAB， 若△AOQ与△AOP相似， 则①△AOP∽△OQA时， ∴， ∴OQ1=； ②△AOP∽△OAQ时， ∴， ∴OQ2=2， ∵B点的坐标为（2，1）， ∴Q1（，），Q2（4，2） 即点Q的坐标分别是Q1（，），Q2（4，2）．