如图AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，A是切点，BP与⊙O交于点C．（1）若...

如图AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，A是切点，BP与⊙O交于点C．
（1）若AB=2，∠P=30°，求AP的长；
（2）若D为AP的中点，求证：直线CD是⊙O的切线．

（1）首先根据切线的性质判定∠BAP=90°；然后在直角三角形ABP中利用三角函数的定义求得AP的长度；（2）连接OC，OD、AC构建全等三角形△OAD≌△OCD，然后利用全等三角形的对应角相等推知∠OAD=∠OCD=90°，即OC⊥CD．（1）【解析】 ∵AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线， ∴AB⊥AP， ∴∠BAP=90°；又∵AB=2，∠P=30°， ∴AP===2，即AP=2；（2）证明：如图，连接OC，OD、AC． ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角）， ∴∠ACP=90°；又∵D为AP的中点， ∴AD=CD（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）；在△OAD和△OCD中，， ∴△OAD≌△OCD（SSS）， ∴∠OAD=∠OCD（全等三角形的对应角相等）；又∵AP是⊙O的切线，A是切点， ∴AB⊥AP， ∴∠OAD=90°， ∴∠OCD=90°，即直线CD是⊙O的切线．

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考点分析：

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