已知，如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边BC在x轴上，直角顶点A在y轴...

（1）Rt△ABC中，AO⊥BC，且知道了OA、OB的长，由射影定理能求出OC的长，也就得到了点C的坐标． （2）利用待定系数法即可确定抛物线的解析式，由x=-能求出抛物线的对称轴． （3）首先求出直线AC的解析式，过点P作x轴的垂线，交直线AC于Q，在知道抛物线和直线AC解析式的情况下，用m表示出点P、Q的坐标，两点纵坐标差的绝对值即为线段PQ的长，而S=AC•PQ，据此求得关于S、m的函数关系式，根据函数的性质即可确定S最大时点P的坐标． （4）首先设出点M的坐标，然后列出△MPC的三边长，若该三角形是等腰三角形，根据①MP=MC、②MP=PC、③MC=PC列出等式求解即可． 【解析】 （1）在Rt△ABC中，AO⊥BC，OA=2，OB=1， 则：OC==4， ∴C（4，0）． （2）设抛物线的解析式：y=a（x+1）（x-4），代入点A的坐标，得： a（0+1）（0-4）=2，a=- ∴抛物线的解析式：y=-（x+1）（x-4）=-x2+x+2，对称轴 x=． （3）设直线AC的解析式为：y=kx+2，代入点C（4，0），得： 4k+2=0，k=- ∴直线AC：y=-x+2； 过点P作PQ⊥x轴于H，交直线AC于Q，设P（m，-m2+m+2）、 ∴S梯形AOHP=[2+（-m2+m+2）]m=-m3+m2+2m， S△PHC=（4-m）（-m2+m+2）=m3-m2+2m+4， S△AOC=×4×2=4， S=S梯形AOHP+S△PHC-S△AOC=-m2+4m=-（m-2）2+4， ∴当m=2，即 P（2，3）时，S的值最大． （4）依题意，设M（，b），已知P（2，3）、C（4，0），则有： MP2=b2-6b+、MC2=b2+、PC2=13； 当MP=MC时，b2-6b+=b2+，解得 b=； 当MP=PC时，b2-6b+=13，解得 b=； 当MC=PC时，b2+=13，解得 b=±； 综上，存在符合条件的M点，且坐标为 （，）、（，）、（，）、（，）、（，-）．