如图已知P为⊙O外一点，PA为⊙O的切线，B为⊙O上一点，且PA=PB，C为优弧...

（1）连接OA，OB，根据AP为圆O的切线，利用切线的性质得到∠OAP为直角，由半径OA=OB，已知AP=BP，以及公共边OP，利用SSS得出△OAP≌△OBP，利用全等三角形的对应角相等得到∠OBP为直角，即BP垂直于OB，可得出BP为圆O的切线； （2）延长BO与圆交于点E，连接AE，利用同弧所对的圆周角相等得到∠AEB=∠ACB，可得出tan∠AEB的值，由BE为圆O的直径，利用直径所对的圆周角为直角，得到∠BAE为直角，在直角三角形AEB中，设AB=2x，得到AE=3x，再由直径BE的长，利用勾股定理得到关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可求出弦AB的长． （1）证明：连接OA，OB，如图所示： ∵AP为圆O的切线， ∴∠OAP=90°， 在△OAP和△OBP中， ， ∴△OAP≌△OBP（SSS）， ∴∠OAP=∠OBP=90°， 则BP为圆O的切线； （2）【解析】 延长线段BO，与圆O交于E点，连接AE， ∵BE为圆O的直径，∴∠BAE=90°， ∵∠AEB和∠ACB都对， ∴∠AEB=∠ACB， ∴tan∠AEB=tan∠ACB=， 设AB=2x，则AE=3x， 在Rt△AEB中，BE=2， 根据勾股定理得：（2x）2+（3x）2=（2）2， 解得：x=2或x=-2（舍去）， 则AB=2x=4．