如图1所示，已知直线y=kx+m与x轴、y轴分别交于点A、C两点，抛物线y=-x...

（1）先根据抛物线y=-x2+bx+c，当x=-时，y取最大值，得到抛物线的顶点坐标为（-，），可写出抛物线的顶点式，再根据抛物线的解析式求出A、C的坐标，然后将A、C的坐标代入 y=kx+m，运用待定系数法即可求出直线的解析式； （2）根据等高三角形的面积比等于底边比，因此两三角形的面积比实际是AP：PC=1：3，即3AP=PC，可先求出AC的长，然后分情况讨论： ①当P在线段AC上时，过点P作PH⊥x轴，点H为垂足．由PH∥OC，根据平行线分线段成比例定理求出PH的长，进而求出P点的坐标； ②当P在CA的延长线上时，由PG∥OC，根据平行线分线段成比例定理求出PG的长，进而求出P点的坐标； （3）联立两函数的解析式，设直线y=x+a与抛物线y=-x2-x+6的交点为M（xM，yM），N（xN，yN）（M在N左侧），则xM、xN是方程x2+x+a-6=0的两个根，由一元二次方程根与系数关系得，xM+xN=-，xM•xN=a-6，进而求出yM•yN=（a-6）-a+a2． ①由于∠MON=90°，根据勾股定理得出OM2+ON2=MN2，据此列出关于a的方程，解方程即可求出a的值； ②由于∠MON＞90°，根据勾股定理得出OM2+ON2＜MN2，据此列出关于a的不等式，解不等式即可求出a的范围． 【解析】 （1）∵抛物线y=-x2+bx+c，当x=-时，y取最大值， ∴抛物线的解析式是：y=-（x+）2+，即y=-x2-x+6； 当x=0时，y=6，即C点坐标是（0，6）， 当y=0时，-x2-x+6=0，解得：x=2或-3， 即A点坐标是（-3，0），B点坐标是（2，0）． 将A（-3，0），C（0，6）代入直线AC的解析式y=kx+m， 得， 解得：， 则直线的解析式是：y=2x+6； （2）过点B作BD⊥AC，D为垂足， ∵S△ABP：S△BPC=1：3， ∴=， ∴AP：PC=1：3， 由勾股定理，得AC==3． ①当点P为线段AC上一点时，过点P作PH⊥x轴，点H为垂足． ∵PH∥OC， ∴==， ∴PH=， ∴=2x+6， ∴x=-， ∴点P（-，）； ②当点P在CA延长线时，作PG⊥x轴，点G为垂足． ∵AP：PC=1：3， ∴AP：AC=1：2． ∵PG∥OC， ∴==， ∴PG=3， ∴-3=2x+6，x=-， ∴点P（-，-3）． 综上所述，点P的坐标为（-，）或（-，-3）． （3）设直线y=x+a与抛物线y=-x2-x+6的交点为M（xM，yM），N（xN，yN）（M在N左侧）． 则，为方程组的解， 由方程组消去y整理，得：x2+x+a-6=0， ∴xM、xN是方程x2+x+a-6=0的两个根， ∴xM+xN=-，xM•xN=a-6， ∴yM•yN=（xM+a）（xN+a）=xM•xN+（xM+xN）+a2=（a-6）-a+a2． ①存在a的值，使得∠MON=90°．理由如下： ∵∠MON=90°， ∴OM2+ON2=MN2，即+++=（xM-xN）2+（yM-yN）2， 化简得xM•xN+yM•yN=0， ∴（a-6）+（a-6）-a+a2=0， 整理，得2a2+a-15=0， 解得a1=-3，a2=， ∴存在a值，使得∠MON=90°，其值为a=-3或a=； ②∵∠MON＞90°， ∴OM2+ON2＜MN2，即+++＜（xM-xN）2+（yM-yN）2， 化简得xM•xN+yM•yN＜0， ∴（a-6）+（a-6）-a+a2＜0， 整理，得2a2+a-15＜0， 解得-3＜a＜， ∴当∠MON＞90°时，a的取值范围是-3＜a＜．