Question

如图1，点C将线段AB分成两部分，如果，那么称点C为线段AB的黄金分割点．某数学兴趣小组在进行课题研究时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S₁、S₂，如果，那么称直线l为该图形的黄金分割线．
（1）如图2，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，∠C的平分线交AB于点D，请问点D是否是AB边上的黄金分割点，并证明你的结论；
（2）若△ABC在（1）的条件下，如图3，请问直线CD是不是△ABC的黄金分割线，并证明你的结论；
（3）如图4，在直角梯形ABCD中，∠D=∠C=90°，对角线AC、BD交于点F，延长AB、DC交于点E，连接EF交梯形上、下底于G、H两点，请问直线GH是不是直角梯形ABCD的黄金分割线，并证明你的结论．

Answer

（1）证明AD=CD=BC，证明△BCD∽△BCA，得到，则有，所以点D是AB边上的黄金分割点；
（2）证明S△ACD：S△ABC=S△BCD：S△ACD，直线CD是△ABC的黄金分割线；
（3）根据相似三角形比例线段关系，证明BG=GC，AH=HD，则梯形ABGH与梯形GCDH上下底分别相等，高也相等，S梯形ABGH=S梯形GCDH=S梯形ABCD，所以GH不是直角梯形ABCD的黄金分割线．
【解析】
（1）点D是AB边上的黄金分割点．理由如下：
∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠B=∠ACB=72°．
∵CD是角平分线，
∴∠ACD=∠BCD=36°，
∴∠A=∠ACD，
∴AD=CD．
∵∠CDB=180°-∠B-∠BCD=72°，
∴∠CDB=∠B，
∴BC=CD．
∴BC=AD．
在△BCD与△BCA中，∠B=∠B，∠BCD=∠A=36°，
∴△BCD∽△BCA，
∴，
∴，
∴点D是AB边上的黄金分割点．

（2）直线CD是△ABC的黄金分割线．理由如下：
设△ABC中，AB边上的高为h，则S△ABC=AB•h，S△ACD=AD•h，S△BCD=BD•h．
∴S△ACD：S△ABC=AD：AB，S△BCD：S△ACD=BD：AD．
由（1）知，点D是AB边上的黄金分割点，，
∴S△ACD：S△ABC=S△BCD：S△ACD，
∴CD是△ABC的黄金分割线．

（3）直线不是直角梯形ABCD的黄金分割线．理由如下：
∵BC∥AD，
∴△EBG∽△EAH，△EGC∽△EHD，
∴，，
∴，即 ①
同理，由△BGF∽△DHF，△CGF∽△AHF得：
，即 ②
由①、②得：，
∴AH=HD，
∴BG=GC．
∴梯形ABGH与梯形GCDH上下底分别相等，高也相等，
∴S梯形ABGH=S梯形GCDH=S梯形ABCD．
∴GH不是直角梯形ABCD的黄金分割线．