如图，已知抛物线y=ax2-2ax-b（a＞0）与x轴的一个交点为B（-1，0）...

（1）已知抛物线解析式和点B的坐标求出a值，利用对称轴x=-求出对称轴以及点A的坐标． （2）①本题要靠辅助线的帮助．连接AC，AD，过DM⊥y轴于点M．证明△AOC∽△CMD后可推出a，b的值． ②证明四边形BAFE为平行四边形，求出BA，EF得出点F的坐标． 【解析】 （1）对称轴是直线：x=1， 点A的坐标是（3，0）； （2）①如图，连接AC、AD，过D作DM⊥y轴于点M， 解法一：利用△AOC∽△CMD， 在y=ax2-2ax-b（a＞0）中，当x=1时，y=-a-b，则D的坐标是（1，-a-b）． ∵点A、D、C的坐标分别是A（3，0），D（1，-a-b）、 C（0，-b）， ∴AO=3，MD=1． 由， 得， ∴3-ab=0．（3分） 又∵0=a•（-1）2-2a•（-1）-b，（4分） ∴由， 得，（5分） ∴函数解析式为：y=x2-2x-3．（6分） 解法二：利用以AD为直径的圆经过点C， ∵点A、D的坐标分别是A（3，0）、D（1，-a-b）、C（0，-b）， ∴AC=，CD=，AD= ∵AC2+CD2=AD2 ∴3-ab=0①（3分） 又∵0=a•（-1）2-2a•（-1）-b②（4分） 由①、②得a=1，b=3（5分） ∴函数解析式为：y=x2-2x-3．（6分） ②F点存在． 如图所示，当BAFE为平行四边形时 则BA∥EF，并且BA=EF． ∵BA=4， ∴EF=4 由于对称轴为x=1， ∴点F的横坐标为5．（7分） 将x=5代入y=x2-2x-3得y=12，∴F（5，12）．（8分） 根据抛物线的对称性可知，在对称轴的左侧抛物线上也存在点F， 使得四边形BAEF是平行四边形，此时点F坐标为（-3，12）．（9分） 当四边形BEAF是平行四边形时，点F即为点D， 此时点F的坐标为（1，-4）．（10分） 综上所述，点F的坐标为（5，12），（-3，12）或（1，-4）．