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如图,点E是矩形ABCD的对角线BD上的一点,且BE=BC,AB=3,BC=4,...

如图,点E是矩形ABCD的对角线BD上的一点,且BE=BC,AB=3,BC=4,点P为直线EC上的一点,且PQ⊥BC于点Q,PR⊥BD于点R.
(1)如图1,当点P为线段EC中点时,易证:PR+PQ=manfen5.com 满分网(不需证明).
(2)如图2,当点P为线段EC上的任意一点(不与点E、点C重合)时,其它条件不变,则(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由.
(3)如图3,当点P为线段EC延长线上的任意一点时,其它条件不变,则PR与PQ之间又具有怎样的数量关系?请直接写出你的猜想.
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(2)连接BP,过C点作CK⊥BD于点K.根据矩形的性质及勾股定理求出BD的长,根据三角形面积相等可求出CK的长,最后通过等量代换即可证明; (3)图3中的结论是PR-PQ=. 【解析】 (2)图2中结论PR+PQ=仍成立. 证明:连接BP,过C点作CK⊥BD于点K. ∵四边形ABCD为矩形, ∴∠BCD=90°, 又∵CD=AB=3,BC=4, ∴BD===5. ∵S△BCD=BC•CD=BD•CK, ∴3×4=5CK, ∴CK=. ∵S△BCE=BE•CK,S△BEP=PR•BE, S△BCP=PQ•BC,且S△BCE=S△BEP+S△BCP, ∴BE•CK=PR•BE+PQ•BC, 又∵BE=BC, ∴CK=PR+PQ, ∴CK=PR+PQ, 又∵CK=, ∴PR+PQ=; (3)过C作CF⊥BD交BD于F,作CM⊥PR交PR于M,连接BP,S△BPE-S△BCP=S△BEC,S△BEC 是固定值,BE=BC 为两个底,PR,PQ 分别为高,图3中的结论是PR-PQ=.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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