基本模型如下图，点B、P、C在同一直线上，若∠B=∠1=∠C=90°，则△AB...

基本模型
如下图，点B、P、C在同一直线上，若∠B=∠1=∠C=90°，则△ABP∽△PCD成立，
（1）模型拓展
如图1，点B、P、C在同一直线上，若∠B=∠1=∠C，则△ABP∽△PCD成立吗？为什么？
（2）模型应用
①如图2，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=1，AB=2，BC=4，在BC上截取BP=AD，作∠APQ=∠B，PQ交CD于点Q，求CQ的长；
②如图3，正方形ABCD的边长为1，点P是线段BC上的动点，作∠APQ=90°，PQ交CD于Q，当P在何处时，线段CQ最长？最长是多少？
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（1）由∠A=180°-（∠B+∠APB）和∠CPD=180°-（∠1+∠APB），可得出∠B=∠1，则∠A=∠CPD，从而证明△ABP∽△PCD；（2）①由四边形ABCD是等腰梯形，则∠B=∠C，∠B=∠APQ=∠C，再由（1）知，△ABP∽△PCD，从而得出CQ； ②设BP=x，CQ=y．由∠B=∠APQ=90°，则△ABP∽△PCQ，再由相似三角形的性质，得出y与x之间的函数关系式，即y=-x2+x=-（x-）2+，根据二次函数的性质得出答案．【解析】（1）成立， ∵∠A=180°-（∠B+∠APB）， ∠CPD=180°-（∠1+∠APB）， ∠B=∠1， ∴∠A=∠CPD， ∵∠B=∠C， ∴△ABP∽△PCD；（2）①∵四边形ABCD是等腰梯形， ∴∠B=∠C， ∵∠B=∠APQ， ∴∠B=∠APQ=∠C，由（1）知，△ABP∽△PCD， ∴=， ∴=， ∴CQ=； ②设BP=x，CQ=y． ∵∠B=∠APQ=90°， ∴△ABP∽△PCQ， ∴=，即=， ∴y=-x2+x=-（x-）2+， ∴当x=时，y最大=，即当P是BC的中点时，CQ最长，最长为．

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考点分析：

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