（2002•朝阳区）已知：如图，△ABC内接于⊙O，AD是⊙O的直径，点E、F分...

（1）根据根与系数的关系，可以得到EH+HF=k+2②，EH•HF=4k＞0③，再结合已知EH-HF=2，可求k的值，再把k的值代入方程，解方程可求EH、HF，从而可求EH； （2）连接BD、CD，由于AD是直径，根据垂径定理可知，AD⊥EF，再利用同角的余角相等，可知∠E=∠1，再利用圆周角的性质，可知∠E=∠1=∠α，从而tan∠E=，结合EH=8，可求AH，再利用勾股定理可求AE，在Rt△AHF中，利用勾股定理可求AF，在Rt△ABD中，由于tan∠1=，可设AB=3m，BD=4m，利用勾股定理可知AD=5m，而H是OD中点，从而AD=AH，由于AH=6，可求AD、m的值，从而可求AB，利用∠α=∠E，再加上一个公共角，可证△ABC∽△AFE，可得比例线段，容易求出BC． 【解析】 （1）依题意，及一元二次方程根与系数关系，得 △=[-（k+2）]2-4×4k＞0，① EH+HF=k+2，② EH•HF=4k＞0，③ 又EH-HF=2④ 由②、③、④得k=12， 当k=12时，①成立． 把k=12代入原方程解得x1=8，x2=6， ∴EH=8，HF=6． （2）解法一： 连接BD， ∵AD是⊙O的直径， ∴∠ABD=90°， ∵∠1=∠a， ∵， ∴AD⊥EF，即∠AHE=∠AHF=90°， ∴∠E=∠1=∠a， 在Rt△AEH中，tanE==tana=，又EH=8， ∴AH=6， 由勾股定理得AE=10， 在Rt△AHF中，AH=HF=6， 由勾股定理得AF=6 在Rt△ABD中，tan∠1==tana=， 设AB=3m，则BD=4m，由勾股定理得AD=5m ∵H是OD的中点， ∴AH=AD ∴AD=AH=×6=8 ∴5m=8，解得m=， ∴AB=3m=， ∵∠E=∠a，∠BAC=∠FAE， ∴△ABC∽△AFE ∴ ∴BC=； 解法二： 同解法一求出AE=10，AD=8 连接CD， ∵AH=HF，且AH⊥HF， ∴∠HAF=∠F=45° ∵AD为⊙O直径， ∴∠ACD=90°，∠ADC=45° ∴AC=AD•sin∠ADC=AD•sin45°=4， 以下同解法一求得BC=．