Question

如图，是棱形，与相交于点，平面平面，且是直角梯形，.

（1）求证：；

（2）求二面角的余弦值.

Answer

（1）见解析（2）

【解析】

试题（1）由菱形的性质可得，由线面垂直的性质可得平面，再由线面垂直的性质可得结论；（2）直角梯形中，由得平面，取的中点，以为坐标原点，以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面的法向量与平面的法向量，利用空间向量夹角余弦公式可得二面角的余弦值.

试题解析：（1）证明：在棱形中，可得，

因为平面平面，且交线为，

所以平面，

因为平面，所以.

（2）直角梯形中，由，得平面.

取的中点，以为坐标原点，以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则.

所以.

设平面的法向量，

由，可取

由.

设平面的法向量为，

同上得，可取.

则，

即二面角的余弦值为.

【方法点晴】本题主要考查线面垂直判定与性质以及利用空间向量求二面角的大小，属于难题. 空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.