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已知函数. (1)探究函数在上的单调性; (2)若关于的不等式在上恒成立,求实数...

已知函数

(1)探究函数上的单调性;

(2)若关于的不等式上恒成立,求实数的取值范围.

 

(1)当时,函数在上单调递增;当时,函数在上单调递增,在上单调递减;当时,函数在上单调递减; (2). 【解析】 (1)对函数求导后,对分成三类,讨论函数的单调性.(2)将原不等式转化为当时,恒成立,构造函数,利用导数研究函数的单调性,由此求得的取值范围. (1)依题意,, 当时,,故; 当时,,故当时,,当时,; 当时,,故; 综上:当时,函数在上单调递增; 当时,函数在上单调递增,在上单调递减; 当时,函数在上单调递减; (2)由题意得,当时,恒成立; 令, 求导得, 设,则, 因为,所以,所以, 所以在上单调递增,即在上单调递增, 所以; ①当时,,此时,在上单调递增, 而,所以恒成立,满足题意; ②当时,, 而; 根据零点存在性定理可知,存在,使得. 当时,单调递减; 当时,,单调递增. 所以有,这与恒成立矛盾,舍去; 综上所述,实数的取值范围为.
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