Question

设函数.

（1）当时，求函数的最大值；

（2）令，其图象上存在一点，使此处切线的斜率，求实数的取值范围；

（3）当， 时，方程有唯一实数解，求正数的值.

Answer

(1) (2) （3）

【解析】试题分析：（1）依题意确定的定义域，对求导，求出函数的单调性，即可求出函数的最大值；（2）表示出，根据其图象上存在一点，使此处切线的斜率可得，在上有解，即可求出实数的取值范围;（3）由，方程有唯一实数解，构造函数，求出的单调性，即可求出正数的值.

试题解析：（1）依题意， 的定义域为，当时， ，

由，得,解得

由,得，解得或

∵，∴在单调递増，在单调递减；所以的极大值为，此即为最大值

（2），则有，在上有解，

∴， ，∵，所以当时，

取得最小值，∴

（3）由得，令，

令， ，∴在上单调递增，而，

∴在，即，在，即，

∴在单调递减，在单调递増，∴极小值，令，即时方程有唯一实数解.