Question

【2018安徽淮南市高三一模（2月）】已知函数．

（I）若，讨论函数的单调性；

（II）曲线与直线交于， 两点，其中，若直线斜率为，求证： ．

Answer

（I）答案见解析；（II）证明见解析．

【解析】试题分析：（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；
（2）问题等价于，令，则，问题转化为只需证，根据函数的单调性证明即可．

试题解析：

(1) ， ，

当时，恒有， 在区间上是增函数，

当时，令，即，解得；令，即，解得， 在区间上是增函数，在区间上是减函数.

综上，当时， 在区间上是增函数；

当时， 在区间上是增函数，在区间上是减函数.

(2)证明： ，要证明，

即证，等价于，令 (由，知)，

则只需证，由知，故等价于 (*)

①令，则，所以在上是增函数，

当时， ，所以；

②令，则，所以在内是增函数，

当时， ，所以，

综上， .