Question

已知椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，

直线与以椭圆C的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆相切．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设P为椭圆C上一点，若过点的直线与椭圆C相交于不同的两点S和T，

满足（O为坐标原点），求实数的取值范围．

Answer

（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】试题分析：（1）设椭圆的方程，用待定系数法求出的值；（2）解决直线和椭圆的综合问题时注意：第一步：根据题意设直线方程，有的题设条件已知点，而斜率未知；有的题设条件已知斜率，点不定，可由点斜式设直线方程．第二步：联立方程：把所设直线方程与椭圆的方程联立，消去一个元，得到一个一元二次方程．第三步：求解判别式：计算一元二次方程根．第四步：写出根与系数的关系．第五步：根据题设条件求解问题中结论．．

试题解析：（Ⅰ）由题意，以椭圆的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆的方程为，

∴圆心到直线的距离（*）

∵椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，

∴,， 代入（*）式得，∴，

故所求椭圆方程为

（Ⅱ）由题意知直线的斜率存在，设直线方程为，设，

将直线方程代入椭圆方程得：，

∴，∴．

设,，则，

由，

当,直线为轴， 点在椭圆上适合题意；

当，得∴．

将上式代入椭圆方程得：，

整理得：，由知，，所以，

综上可得．