Question

已知函数（其中是自然对数的底数.）

（1）讨论函数的单调性；

（2）当函数有两个零点， 时，证明： .

Answer

（1）见解析（2）见解析

【解析】试题分析：（1）由已知中函数的解析式，求出导函数的解析式，对进行分类讨论，确定在不同情况下导函数的符号，进而可得函数的单调性．
（2）先求出，令，求出，问题转化为证明，构造函数，通过函数的单调性证明即可．

试题解析：（1）【解析】
因为，

当时，令得，所以当时， ，

当时， ，所以函数在区间上单调递减，

在区间上单调递增；

当时， 恒成立，故此时函数在上单调递增.

（2）证明：当时，由（1）知函数单调递增，不存在两个零点，所以，

设函数的两个零点为， ，且. 由题意得： ， ②-①得：

令 ，则 ∴③可化为：

要证： 只需证：

即证：

构造函数 ，则

在单调递增，