Question

在多面体中，四边形是正方形， ， ， ， .

（Ⅰ） 求证： 平面；

（Ⅱ）在线段上确定一点，使得平面与平面所成的角为.

Answer

（Ⅰ）见解析（Ⅱ）当点满足时，平面与平面所成角的大小为.

【解析】试题分析：（Ⅰ）在中，由正弦定理得得即即，在中，可得即，即，由此可证明平面.

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得， 平面，则平面平面

如图，过点作平面的垂线，以点为坐标原点， ， ， 所在直线分别为轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系，求出相应点及向量的坐标，设平面的一个法向量，令，得

.

易知平面的一个法向量.由向量的夹角公式

， 化简得， .

即当点满足时，平面与平面所成角的大小为.

试题解析：（Ⅰ） 四边形是正方形， .

在中， ，即得

，即，在梯形中，过点作，交于点.

， ， ，

在中，可求， ，

， .

又，

平面，

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得， ，

平面，又平面，

平面平面

如图，过点作平面的垂线，

以点为坐标原点， ， ， 所在直线分别为轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系，

则， ， ， ， ， ，.

设， ，则.

设平面的一个法向量，则，

即令，得

.

易知平面的一个法向量.

由已知得 ，

化简得， .

当点满足时，平面与平面所成角的大小为.