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如图,已知椭圆的左右顶点分别为,右焦点为,焦距为,点是椭圆C上异于两点的动点, ...

如图,已知椭圆的左右顶点分别为,右焦点为,焦距为,点是椭圆C上异于两点的动点, 的面积最大值为.

(1)求椭圆C的方程;

(2)若直线与直线交于点,试判断以为直径的圆与直线的位置关系,并作出证明.

 

(1)(2)以为直径的圆与直线相切. 【解析】试题分析:(1)因为的面积最大值为,所以可列方程组解得(2)直线与圆位置关系的判断,一般利用圆心到直线距离与半径大小进行判断, 设,则可得直线PF方程,可得D点坐标,进而可得圆心,即BD中点坐标,再根据点到直线距离公式可得圆心到PF距离,最后与半径(BD一半)比较大小即可 试题解析:(1)由题意得, ,解得: ,所以,椭圆方程为: . (2)以为直径的圆与直线相切. 证明:设直线: ,则: , 的中点为为 联立,消去整理得: 设,由韦达定理得: , 解得: ,故有: 又,所以当时, , ,此时轴, 以为直径的圆与直线相切. 当时, , 所以直线 ,即: , 所以点到直线的距离 而,即知: ,所以以为直径的圆与直线相切.
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