Question

如图，三棱锥中，平面平面， ，点在线段上，且， ，点在线段上，且平面.

（1）证明： ；

（2）证明： 平面；

（3）若四棱锥的体积为7，求线段的长.

Answer

（Ⅰ）证明过程见解析；（Ⅱ）证明过程见解析；（Ⅲ） 或.

【解析】（Ⅰ）证明： //平面. 平面，平面平面，

所以根据线面平行的性质可知// ，

（Ⅱ）由可知为等腰中边的中点，故，

又平面平面，平面平面 , 平面 ， ，

平面， 平面,

又， // 所以平面.

（Ⅲ）设，在直角三角形中， ，

，即，

// 知相似于，所以，

由得，

从而四边形的面积为，

由（Ⅱ）可知是四棱锥的高， ，

所以，

所以，所以或，

所以或.

考点：线面平行；面面垂直；线面垂直；锥体的体积