Question

已知， .

（1）若曲线在点处的切线的斜率为5，求的值；

（2）若函数的最小值为，求的值；

（3）当时， 恒成立，求实数的取值范围.

Answer

（1）（2）（3）

【解析】试题分析：（1）本问考查导数几何意义，求导公式和导数四则运算，由题对求导得， ，则，于是；（2）本问考查利用导数研究函数的最值， ，当，则，分别讨论当， 时，函数的单调性，从而求出最小值，令最小值等于，求出的值；（3）本问考查恒成立问题的解法，首先将不等式 等价转化为 ，即 ，所以问题转化为求函数的最小值，利用已经得到的单调性可以求出最小值，进而求出的范围.

试题解析：（1）， ， .

（2）函数的定义域为，

，

令，则，

①当，即时，在上， ，函数单调递增，无最小值.

②当，即时，在上， ，函数单调递减；在上， ，函数单调递增，所以函数的最小值为 ，解得.

综上，若函数的最小值为，则.

（3）由 得，

，即 ，

令，则 ，

由（1）可知，当时， 在上单调递减，在上， 单调递增，所以在上， ，所以，即.

考点：1.导数的几何意义；2.利用导数研究函数的最值；3.不等式恒成立.

方法点睛：导数是高考中的高频考点，主要考查利用导数研究函数的单调性、极值、最值问题.本题第（2）问中主要考查对时的根进行分区间讨论，然后通过单调性求最值，重点考查分类讨论思想在解题中的应用.另外，还要能够将问题进行合理的转化，尤其是“恒成立”问题问题的等价转化，如恒成立，则可以转化为；如恒成立，则可以转化为，这样可以简化解题过程.