Question

现有一个以、为半径的扇形池塘，在、上分别取点、，作、分别交弧于点、，且，现用渔网沿着、、、将池塘分成如图所示的养殖区域.已知， ， （）.

（1）若区域Ⅱ的总面积为，求的值；

（2）若养殖区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的每平方千米的年收入分别是30万元、40万元、20万元，试问：当为多少时，年总收入最大？

Answer

（1）（2）

【解析】试题分析：（1）本问考查解三角函数的实际应用，由及可知，根据条件易证，所以 ，由可以求出 ，所以区域Ⅱ的总面积为，则，可以求出的值；（2）本问考查函数的最值问题，区域Ⅰ的面积可以根据扇形面积公式求得，区域Ⅱ的面积第（1）问中已经求出，区域Ⅲ的面积可以用1/4圆的面积减去区域Ⅰ、Ⅱ的面积，于是得到年收入函数，利用导数求函数的最大值即可得出年收入的最大值.

试题解析：（1）因为， ，所以.

因为， ， ，

所以， .

又因为，所以.

所以 ，

又

所以

所以（）.

由得， ， .

（2）因为，所以 .

记年总收入为万元，

则

（），

所以，令，则.

当时， ；当时， .

故当时， 有最大值，即年总收入最大.

考点：1.三角函数的实际应用；2.利用导数研究函数的最值.