Question

已知函数.

（1）若有极值0，求实数，并确定该极值为极大值还是极小值；

（2）在（1）的条件下，当时， 恒成立，求实数的取值范围.

Answer

（1）见解析（2）

【解析】试题分析：（1）由极值定义得必有解，所以，且，根据导数可得函数先减后增，且最小值为，解得实数，最后根据导函数符号变化规律确定该极值为极大值还是极小值；（2）不等式恒成立问题，一般利用变量分离转化为对应函数最值问题： 利用导数研究函数单调性（递增），再根据罗比特法则求最小值，即得实数的取值范围.

试题解析：【解析】
（Ⅰ） ．

①若， ， 在上单调递增，无极值，不符合题意；

②若，令，得，

当时， ， 在上单调递减；

当时， ， 在上单调递增．

所以，当时， 取到极小值， ，即．

令，则，

当时， ， 单调递减；当时， ， 单调递增．

又，所以有唯一解．

（Ⅱ）据（Ⅰ），，当时， 恒成立，

即（）恒成立．

令（），则，

令（），则，

， （当且仅当时取“=”）．

①当时， ， 在单调递增，

所以，即，

即，所以在单调递增，

所以，所以，

所以，即恒成立．

②当时， 是增函数， ，

所以，故在单调递增，

所以，即，

所以在单调递增，所以，

所以，即恒成立．

③当时， 是增函数， ，

当时， ， ，

所以，则，使得，

当时， ， 在递减，

此时，即， ，

所以在递减， ，不符合题意．

综上所述， 的取值范围是．