Question

如图，一个的矩形（），被截取一角（即），， ，平面平面， .

（1）证明： ；

（2）求二面角的大小的余弦值.

Answer

（1）见解析（2）

【解析】试题分析：（1）过作，由面面垂直性质定理得平面，即得，再在平面内，根据平几知识计算可得．最后根据线面垂直判定定理得平面，即得．（2）求二面角，一般利用空间向量进行求解，先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组解出各面法向量，利用向量数量积求法向量夹角，最后根据二面角与向量夹角之间关系求解.

试题解析：（Ⅰ）证明：因为， ，

所以， ，

所以截去的是等腰直角三角形．

如图，过作，垂足为，连接，

因为，所以， ．

，故是等腰直角三角形，所以，

所以，即．

因为平面平面，平面平面， 平面，

所以平面，所以，而，

所以平面，又平面，

所以．

（Ⅱ）【解析】
如图4，以为原点， 所在直线分别为轴、轴，建立空间直角坐标系，

则， ， ， ．

所以， ， ．

设平面的法向量为，则

由得

所以平面的一个法向量为．

设平面的法向量为，则

由得

所以平面的一个法向量为，

所以，

因为二面角为钝二面角，

所以二面角的大小的余弦值为．

点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.