Question

已知是椭圆： 的右焦点， 是上一点， ，当周长最小时，其面积为__________．

Answer

4

【解析】由题设可设左焦点为，则的周长为，由于（当且仅当三点共线时取等号），此时，直线方程为，代入椭圆中化简可得，解得。当时， ，即，此时，点到直线的距离，三角形的面积；当时， ，即，此时，点到直线的距离，故三角形的面积；故应填答案。

点睛：解答本题的关键是确定三角形面积最小时点的坐标，进而求出直线的方程，运用点到直线的距离公式确定三角形的高，最终求出三角形面积的值。本题求解时遇到的难点是联立直线与椭圆的方程解方程组时，得到两个交点的坐标，然后逐一求出三角形的面积，取出三角形面积最小的三角形的面积。