Question

如图,在矩形ABCD中, ,点E,H分别是所在边靠近B,D的三等分点,现沿着EH将矩形折成直二面角,分别连接AD,AC,CB,形成如图所示的多面体.

(1)证明:平面BCE∥平面ADH;

(2)证明:EH⊥AC;

(3)求二面角B-AC-D的平面角的余弦值.

Answer

（1）见解析（2）.

【解析】试题分析：（1）根据折叠前、后不变量得AH∥BE,DH∥EC,根据线面平行判定定理得AH∥平面BCE,DH∥平面BCE,再根据面面平行判定定理得平面BCE∥平面ADH.（2）先过点A作EH的垂线交EH于点O，由面面垂直性质定理得AO⊥平面EHC，再由直二面角定义得CO⊥EH,因此根据线面垂直判定定理得EH⊥平面AOC,即得EH⊥AC.（3）根据条件作出二面角B-AC-O平面角BQP，并根据直角三角形求出，最后根据二面角B-AC-D的平面角为BQP，并利用二倍角余弦公式求值.

试题解析：(1)证明:由折叠前、后图形对比可知,在矩形ABCD中有AH∥BE,DH∥EC,

又∵AH∩DH=H,BE∩CE=E,∴平面BCE∥平面ADH.

(2)证明:在多面体中,过点A作EH的垂线交EH于点O,连接OC.

∵二面角A-EH-C为直二面角,∴AO⊥平面EHC.

由对称性可知CO⊥EH,又AO∩CO=O.

∴EH⊥平面AOC,而平面AOC,∴EH⊥AC.

(3)解:过点B在平面ABEH内作BP⊥AO垂足为P,过点P在平面AOC内作PQ⊥AC垂足为Q,连接BQ.∵△ABO是边长为3的等边三角形,∴点P为中点, .

∵△AOC是直角边长为3的等腰直角三角形,∴.

又∵CO⊥平面ABEH,∴CO⊥BP,BP⊥AO,AO∩CO=O,∴BP⊥平面AOC.

∴BQP为二面角B-AC-O的平面角,在直角三角形BPQ中,

∴.

设二面角B-AC-D的平面角为,∴.

所以二面角B-AC-D的平面角的余弦值为.