Question

若函数的图象上有且仅有两对点关于原点对称,则a的取值范围是

A.     B.     C.     D.

Answer

D

【解析】当时， ，则,于是当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，且，且，又当时， ，函数恒过定点，由此可作出函数图像，由图像可知，要使函数 的图象上有且仅有两对点关于原点对称,则函数关于原点对称的函数的图像与直线有且仅有两个交点.由得,则函数在点的切线斜率为1，由此可得实数a的取值范围是或，故选D.

点睛：涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路.