Question

已知椭圆： 的离心率，左、右焦点分别为， ，点满足： 在线段的中垂线上．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）若斜率为（）的直线与轴、椭圆顺次相交于点、、，且，求的取值范围．

Answer

（1）（2）

【解析】试题分析：（1）由在线段的中垂线上得 ，代入点坐标得，解得，再根据，得， ，（2）由，得，设，代入化简得， ，即，再利用直线方程与抛物线方程联立方程组，结合韦达定理及判别式恒大于零得， ,且．

试题解析：（Ⅰ）椭圆的离心率，

得，其中，椭圆的左、右焦点分别为， ，

又点在线段的中垂线上，∴ ，∴，

解得， ， ，

∴椭圆的方程为．

（Ⅱ）由题意，直线的方程为，且，联立，

得，

由，得,且．

设，则有， （）

∵，且由题意，

， 又

， ， ，

整理得，

将（）代入得， ， 知此式恒成立，

故直线斜率的取值范围是．

点睛：直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组，利用韦达定理或求根公式进行转化，涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系，设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解.涉及中点弦问题往往利用点差法.