Question

在平面直角坐标系中，以原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线， 极坐标方程分别为， ．　

（Ⅰ）和交点的极坐标；

（Ⅱ）直线的参数方程为（为参数），与轴的交点为，且与交于， 两点，求.

Answer

（1）（2）见解析

【解析】试题分析：（1）联立， 极坐标方程，解出，反代得，即得和交点的极坐标；（2）先利用 将极坐标方程化为直接坐标方程，再由直线参数方程几何意义得，因此将直线的参数方程代入直角坐标方程，利用韦达定理得，且，因此.

试题解析：（Ⅰ）（方法一）由， 极坐标方程分别为， ’

化为平面直角坐标系方程分为.

得交点坐标为.

即和交点的极坐标分别为.

（方法二）解方程组

所以，

化解得，即，

所以和交点的极坐标分别为.

（II）（方法一）化成普通方程解得

因为，所以.

（方法二）把直线的参数方程： （为参数），代入

得， ，

所以.