Question

已知函数（且为常数）．

（1）当时，讨论函数在的单调性；

（2）设可求导数，且它的导函数仍可求导数，则再次求导所得函数称为原函数的二阶函数，记为，利用二阶导函数可以判断一个函数的凹凸性．一个二阶可导的函数在区间上是凸函数的充要条件是这个函数在的二阶导函数非负．

若在不是凸函数，求的取值范围．

Answer

（1）见解析（2）

【解析】试题分析：

(1)将 代入函数 的解析式，利用导函数与原函数的关系讨论函数的单调性即可；

(2)利用题中所给的新知识结合题意考查函数的二次导函数，将问题转化为恒成立问题，据此求解实数 的取值范围即可.

试题解析：

(I) 令 得

设 则

当时， ， 在上是单调增函数，

故而， 是在内的唯一零点，即是在内的唯一零点．

所以当时， ，即在上是单调减函数;

当时， ，即在上是单调增函数．

(II)

如果在是凸函数，那么 都有

令 即得

当时， 当时，

即在单调递增，在单调递减， 所以

即 又在不是凸函数，所以