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已知函数,其中且,若, 在处切线的斜率为. (1)求函数的解析式及其单调区间; ...

已知函数,其中,若 处切线的斜率为

(1)求函数的解析式及其单调区间;

(2)若实数满足,且对于任意恒成立,求实数的取值范围.

 

(1)的单调递减区间为,单调递增区间为;(2). 【解析】试题分析:(1)由导数几何意义,结合,列方程组并解得, ,根据导函数符号变化规律可得函数单调区间,(2)结合函数极值点分类讨论,确定所在单调区间,再根据函数单调性验证是否满足题意,从而求出实数的取值范围. 试题解析:(1)由于且,则, 当时, ,即, 故,即, , 因此. 令,则,即在上单调递增, 由于,则, 故当时, , , 单调递减; 当时, , , 单调递增. 因此的单调递减区间为, 的单调递增区间为. (2)当时,取,则, 由于在上单调递增,则,不合题意,故舍去; 当时,由抽屉原理可知,则, 若,由于在上单调递减,则成立; 若, ,则, 故, 由于,则, (当且仅当时取“=”) 故(当且仅当时取“=”) 由于,故上式无法取“=”, 因此恒成立, . 点睛:利用导数研究不等式恒成立或存在型问题,首先要构造函数,利用导数研究函数的单调性,求出最值,进而得出相应的含参不等式,从而求出参数的取值范围;也可分离变量,构造函数,直接把问题转化为函数的最值问题.  
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(1)证明

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空气污染,又称为大气污染,是指由于人类活动或自然过程引起某些物质进入大气中,呈现出足够的浓度,达到足够的时间,并因此危害了人体的舒适、健康和福利或环境的现象.全世界也越来越关注环境保护问题.当空气污染指数(单位:μg/m3)为0~50时,空气质量级别为一级,空气质量状况属于优;当空气污染指数为50~100时,空气质量级别为二级,空气质量状况属于良;当空气污染指数为100~150时,空气质量级别为三级,空气质量状况属于轻度污染;当空气污染指数为150~200时,空气质量级别为四级,空气质量状况属于中度污染;当空气污染指数为200~300时,空气质量级别为五级,空气质量状况属于重度污染;当空气污染指数为300以上时,空气质量级别为六级,空气质量状况属于严重污染.20171月某日某省x个监测点数据统计如下:

空气污染指数

(单位:μg/m3

监测点个数

15

40

y

10

 

1)根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出xy的值,并完成频率分布直方图;

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1)分别求的值;

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