Question

已知函数.

（1）当时，证明函数在上单调递增；

（2）若函数有个零点，求的值.

Answer

（1）见解析；（2）.

【解析】试题分析：（1）先求原函数的导数得：，由于，得到，从而函数在上单调递增．
（2）由已知条件得，当时，有唯一解，又函数有三个零点，等价于方程有三个根，从而，解得即得．

试题解析：

(1),由于，故当时，

，所以，故函数在上单调递增，

(2) 当时，设，则，所以

在上单调递增. 又因为，有唯一解，所以

的变化情况如下表所示：

递减

极小值

递增

又函数，有个零点，所以方程有个根，而，所以

，解得..

点睛：本题考查函数导数与单调性.确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可结合导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象.方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理. 恒成立问题以及可转化为恒成立问题的问题，往往可利用参变分离的方法，转化为求函数最值处理．也可构造新函数然后利用导数来求解.注意利用数形结合的数学思想方法.